/*
  SampleSource*/
#include <stdio.h>

int count_char(char *check);

int main(){
  char string[] = "hello";
  printf("結果 %d\n",count_char(string));
  return 0;
}

int count_char(char *check){
  if(*check){   
    return count_char(check+1)+1;
  }
  return 0;
}

#include <stdio.h>

#define F4    count_char, count_char, count_char, count_char
#define F32   F4,  F4,  F4,  F4,  F4,  F4,  F4,  F4
#define F256  F32, F32, F32, F32, F32, F32, F32, F32

int minus_one(const char *s) { return -1; }

int count_char(const char *s)
{
    static int (*f[])(const char *) = { minus_one, F256 };
    return f[*s & 0xFF](s+1) + 1;
}

int main(void)
{
    char string[] = "hello";

    printf("結果 %d\n", count_char(string));
    return 0;
}

#include <stdio.h>

int minus_one(const char *s) { return -1; }

int count_char(const char *s)
{
    static int (*f[])(const char *) = { count_char, minus_one };
    return f[!*s](s+1) + 1;
}

int main(void)
{
    printf("結果 %d\n", count_char("hello"));
    return 0;
}

static int (*f[])(const char *) = { count_char, minus_one };

これは動きません。static ですから、プログラム実行開始時に、
f[0] は count_char、f[1] は minus_one と既に初期化されています。

動くのは、return f[!*s](s+1) + 1; のところだけです。

*s が '\0' でないとき、!*s は 0 ですから、
f[0] すなわち、count_char を呼び出して、その結果 + 1 を返します。

*s が '\0' のとき、!*s は 1 ですから、
f[1] すなわち、minus_one を呼び出して、0 を返します。

どこまで詳しく説明すればよいか分からないので、この程度にしておきます。
まだ分からなければ、どこが分からないのかを具体的に質問してください。