#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

void fournhojin(int size);

int main(void){
    int size;
    
    printf("4の倍数を入力して下さい。>>\n");
    scanf("%d",&size);
    if((size % 4) != 0){
        printf("4の倍数ではありません。終了します。\n");
        return(0);  
    }
    
    fournhojin(size);
    return(0);
}

void fournhojin(int size){
    int **field,count,tate,yoko,i;
    
    field = (int **)malloc(sizeof(int *) * size);
    for(i=0;i<size;i++){
        field[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
    }
    
    count = 1;
    
    for(tate=0;tate<size;tate++){
        for(yoko=0;yoko<size;yoko++){
            if(tate % 4 == 0 || tate % 4 == 3){
                if(yoko % 4 == 0 || yoko % 4 == 3){
                    field[tate][yoko] = count;
                }
            }else if(tate % 4 == 1 || tate % 4 == 2){
                if(yoko % 4 == 1 || yoko % 4 == 2){
                    field[tate][yoko] = count;
                }
            }
            count++;
        }
    }
    
    count = 1;
    
    for(tate=size-1;tate>=0;tate--){
        for(yoko=size-1;yoko>=0;yoko--){
            if(tate % 4 == 0 || tate % 4 == 3){
                if(yoko % 4 == 1 || yoko % 4 == 2){
                    field[tate][yoko] = count;
                }
            }else if(tate % 4 == 1 || tate % 4 == 2){
                if(yoko % 4 == 0 || yoko % 4 == 3){
                    field[tate][yoko] = count;
                }
            }
            count++;
        }
    }
    
    for(tate=0;tate<size;tate++){
        for(yoko=0;yoko<size;yoko++){
            if(yoko == size - 1){
                printf("%d\n",field[tate][yoko]);
            }else{
                printf("%d\t",field[tate][yoko]);
            }
        }
    }

    for(i=0;i<size;i++){
        free(field[i]);
    }
    
    free(field);
}

>元のやり方なら、scanfの戻り値を見ればいいです。
scanf("%d",&size);
このように受けたのですが、同じようにすべて｢4の倍数ではない｣と判定していました。

で、どこでscanf()の戻り値を見ているのでしょう？

もう一度関数リファレンスを確認すると
isdigitなどの文字処理を行う関数は文字を引数に持つのですね。
という事は
scanf("%c",&size);
で受けなければならないと思い、そのように変更したのですが、

それはそれで正しいです。isdigitを使うなら。

4を入力すると52(表示される最大数が2704→52の2乗の為）
8を入力すると56（同 3136→56の2乗)
12を入力すると4の倍数ではないと判定

このような結果になってしまいました。
%cが｢1文字として入力する｣となっている為、2桁の数字である12が
おかしいのはなんとなく分かるのですが、
4や8が52,56となってしまう理由が分かりません。

sizeの値は、「4や8」ではなく、'4'や'8' です。
この場合は、sizeから '0' を引けば4や8になります。

この場合数字かどうかのチェックはどのようにすべきなのでしょうか?

だからscanf()の返却値（又は戻り値、あるいは返り値）。

    int size = 0;
    int d = 0;
    printf("4の倍数を入力して下さい。>>\n");
    d = scanf("%d",&size);
    if(isdigit(d) == 0 || (size % 4) != 0){
        printf("4の倍数ではありません。終了します。\n");
        return(0);  
    }

サンプルコードです。
なるべく分かりやすく書いたつもりですが、参考になるでしょうか？

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <ctype.h>

void sub(char str[]){
  size_t len = strlen(str), i;
  for(i = 0; i < len; i++){
    if(!isdigit(str[i])){
      printf("数字以外の文字が含まれています - [%s]\n", str);
      return;
    }
  }
  printf("数字文字のみで構成されています - [%s]\n", str);
}

int main(){
  sub("0123456789");
  sub("0123a56789");
  return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int setInteger(int *dest, const char *src)
{
    char dummy;
    return sscanf(src, "%i %c", dest, &dummy) == 1;
}

int main(void)
{
    char buf[256];
    int  i;

    fgets(buf, sizeof(buf), stdin);

    if ( !setInteger(&i, buf) ) {
        fprintf(stderr, "not an int literal\n");
        return EXIT_FAILURE;
    }
    printf("i...%d\n", i);
    return EXIT_SUCCESS;
}