筆算と同じコトをすればいい。一の位から繰り上がりを考慮して加える。

/*
 * 123456789 + 987654321 = ?
 */
#include <stdio.h>

int main() {
  int a[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
  int b[] = { 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 };
  int c[] = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 };
  int i, carry;
  carry = 0;
  for ( i = 9; i >= 0; --i ) {
    int n = a[i] + b[i] + carry;
    c[i] = n % 10;  /* i位の答 */
    carry = n / 10; /* 上位への繰り上がり */
  }
  for ( i = 0; i < 10; ++i ) {
    printf("%d",c[i]);
  }
  return 0;
}