#include<stdio.h>

int Taiou(int i) //表の対応する数字を出す関数
{
    int taiou_ans=0 , j=0;
    
    if(i == 0){//ここを修正
        taiou_ans = 1;
    }
    else{
        taiou_ans = 2 * 2; //2つ分の乗数処理を行う
        i = i - 2; //上の処理のため指数から2を引く

        for(j=0 ; j<i ; j++) //残った指数をansにかけていく
        {
            taiou_ans = taiou_ans * 2;
        }
    }
    return taiou_ans;
}


int main(void)
{
    char a[20];
    int mojisuu=0 , i=0 , ans=0;
    
    printf("2進数を入力してください>");
    scanf("%s",a);
    while(a[mojisuu] != '\0'){ //ここを修正＆strlen()を使うとよい
        mojisuu++; //
    } //

    mojisuu--; //配列は0から始まるため、ズレの修正
    while(mojisuu>=0){
        if(a[mojisuu] == '1'){ //ここを修正
            ans = ans + Taiou(i);
        }
        i++;
        mojisuu--;
    }

    printf("結果[%d]\n",ans);

return 0;
}

> while(a[mojisuu] == '\0'){ //文字数を調べる
>     mojisuu++; //
> } //
上記の場合、１文字でも入力があれば、whileブロック内に入りません。
再度条件等を見直してください。

また、処理の前後にprintfなどで変数の値を確認してみると良いでしょう。
# デバッガにその機能があれば、それを使うと便利。

> if(a[mojisuu] == 1){ 
仮に、変数 a の中身が、"101" だとして、mojisuu == 0 だとすると、
a[mojisuu] == '1' であって、a[mojisuu] != 1 となります。

前者は数字、後者は数値の比較になります。